MATEMATICA A - L
Anno accademico 2017/2018 - 1° annoCrediti: 6
SSD: MAT/07 - Fisica matematica
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 108 di studio individuale, 42 di lezione frontale
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
Fornire le conoscenze e gli strumenti logico-matematici di base attraverso cui poter costruire "modelli"per la risoluzione di problemi nelle scienze biologiche, chimiche e farmacologiche
Prerequisiti richiesti
Conoscenze di base di insiemistica, di algebra (polinomi e loro scomposizione, equazioni e disequazioni), di geometria analitica (rappresentazione cartesiana di punti e rette), di alcune funzioni elementari e dei loro grafici; Notazione Scientifica; Trigonometria.
Frequenza lezioni
Obbligatoria
Contenuti del corso
Modulo 1. Elementi di Logica, Teoria degli Insiemi ed Insiemi numerici. *Definizioni di insieme; *Appartenenza; *Cardinalità. *Elementi di logica: *Proposizioni, *operatori logici e predicati. *Operazioni tra insiemi; *Identità booleane; Leggi di De Morgan.*Numeri Naturali; *numeri razionali; *numeri reali. *Intervalli, estremi superiori ed inferiori; *massimo e minimo; *Prodotti Cartesiani e loro rappresentazioni in R^2 ed R^3.
Modulo 2: Teoria delle funzioni. Definizione di *funzione, *dominio, *codominio, *immagine e grafico. *Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. *Composizione di funzioni; *funzioni inverse; *Funzioni monotone; *Massimi e minimi assoluti di funzioni. *Successioni. *Funzioni per le Scienze della Vita: funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.
Modulo 3: Limiti e Derivate. *Successioni e concetto di limite. *Intorni e punto di accumulazione di un insieme. *Limiti di una successione. *Teoremi sui limiti delle successioni.*Limiti di funzioni: definizioni e teoremi sui limiti delle funzioni. *Funzioni continue e teoremi fondamentali; funzioni discontinue. *Derivate di una funzione: Definizione e teoremi fondamentali (Lagrange, Rolle,Cauchy e De Hopital). *Grafico di una funzione. Sviluppo in serie di Taylor e Mac Laurin e formula di Eulero.
Modulo 4: Integrali ed equazioni differenziali. *Integrali. *Cenni di teoria della misura; *Definizione di integrale definito, *Teoremi sugli integrali; *Integrali indefiniti; *Integrali di funzioni elementari; Metodi di integrazione (cenni). *Equazioni differenziali. *Equazioni differenziali del primo e secondo ordine. *L’oscillatore armonico ed alcune applicazioni in biologia, chimica e farmaco-cinetica. L’equazione logistica.
(*)= Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell’esame
Testi di riferimento
1. Calcolo Differenziale 1, Funzioni di una variabile reale, R.A.Adams-C.Essex, Casa Editrice Ambrosiana (2014)
2. Metodi e Modelli Matematici, S.Motta e M.A.Ragusa, CULC (2011)
3. Analisi Matematica, Vol 1, C.D.Pagani-S.Salsa, Zanichelli (Cap.1, Par.1,2)
4. Matematica per le scienze della vita, D.Benedetto-M. Degli Esposti- C. Maffei, Casa Editrice Ambrosiana (2016)
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | Disequazioni di secondo grado, esponenziali e logaritmiche per via grafica. Funzioni inverse. | |
| 2 | * | Proposizioni logiche e connettivi. Predicati e quantificatori. Dimostrazioni per assurdo. | |
| 3 | * | Insiemi ed operazioni insiemistiche. L'uguaglianza tra insiemi e proprietà | |
| 4 | * | Il metodo di induzione. Relazione e suo significato insiemistico. Relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine. Funzioni. | |
| 5 | * | Composizione di due funzioni. Gruppi, campi e campi ordinati. Completezza e numeri reali. Intorno di un punto. | |
| 6 | * | Rette sul piano cartesiano e loro equazioni rappresentative. Metrica euclidea. Distanza di un punto da una retta. Successioni ed esistenza del limite. | |
| 7 | Successioni iterative. Successione di Fibonacci ed il numero aureo. | ||
| 8 | * | Unicità. del limite. Permanenza del segno e teorema inverso. Regolarità di successioni monotone. Asintoticità. | |
| 9 | * | Successioni a termini positivi e criterio del rapporto. Infiniti e confronto dei loro ordini. Serie di Mengoli e serie armonica. Criteri di confronto. Serie armonica generalizzata. | |
| 10 | * | Funzioni limitate. Massimo ed estremo superiore. Monotonia ed invertibilità di una funzione. Limite di funzione e punto di accumulazione. Punto interno, esterno, di frontiera ed isolato. | |
| 11 | * | Teorema del confronto ed alcuni limiti notevoli goniometrici. Operazioni sui limiti e funzioni continue definite su un intervallo. Limitatezza, esistenza di massimo e minimo e valori intermedi. | |
| 12 | * | Il rapporto incrementale e suo limite: derivata in un punto e derivata come funzione. Linearità della derivata e derivata di somma, prodotto, potenza e rapporto di due funzioni. Cenni sulle funzioni di due variabili e sulla differenziabilità. La retta tangente ed il piano tangente. | |
| 13 | * | Derivata di una funzione composta e derivata della funzione inversa di una funzione invertibile. Derivazione di alcune funzioni trascendenti. | |
| 14 | * | Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Polinomio e serie di Taylor e di Mac Laurin. La formula di Eulero. | |
| 15 | * | Numeri complessi: forma algebrica e forma goniometrica. Prodotto, potenza e rapporto di due numeri complessi. Studio del grafico di funzione: test di monotonia e punti di flesso. Ricerca di massimi, minimi ed asintoti. | |
| 16 | * | Primitive di una funzione ed integrali (indefiniti) immediati. Integrazione per parti. Equazioni differenziali in forma generale, normale e a variabili separabili. Integrale singolare. Il problema di Cauchy e teorema di esistenza e unicità. I modelli di Malthus e Verhulst. Equazioni differenziali lineari. Cenni sulle equazioni alle differenze. | |
| 17 | * | L'integrale di Cauchy-Riemann e sue proprietà. Teorema della media. La funzione integrale e sua derivata. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di aree e della media di alcune funzioni. L'equazione dell'oscillatore armonico non smorzato e ruolo dell'esponenziale ad esponente complesso. |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
MODALITÀ D'ESAME
L’esame consiste in una prova scritta propedeutica ed una orale. La prova scritta è divisa in due parti. La prima parte verificherà le conoscenze degli studenti sugli argomenti richiesti come pre-requisiti; la seconda parte verificherà la capacità di sviluppare un ragionamento, utilizzando le definizioni ed i teoremi, e la capacità di calcolo.
Il tempo disponibile per la prova scritta è di 90 min. Come regola, la valutazione ricevuta nella prova scritta è valida solo per la prova orale dello stesso appello.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
A) Nella prima parte della prova scritta: esercizi sulle potenze, esercizi sulle funzioni e disequazioni irrazionali, logaritmiche, esponenziali e con valori assoluti, esercizi di goniometria eventualmente applicata ai triangoli, ai parallelogrammi, ai poligoni, alle circonferenze. Es: (3n+ 3-n)1/n =?;
B) Nella seconda parte della prova scritta: esercizi sulle successioni, sul concetto di funzione (sui domini, sulla loro eventuale iniettività e invertibilità), sul rapporto incrementale e sulla derivata. Esercizi sulla rappresentazione cartesiana di funzioni (asintoti, minimi e massimi, flessi). Esercizi sugli integrali e sul calcolo di aree. Esercizi sulle equazioni differenziali.
Es1: Scrivere il rapporto incrementale della funzione f(x)=ln(1 + ex/2 ) nel punto di ascissa x=-1. Es2: Risolvere il problema di Cauchy: y'+y/x=ex con y(2)=1.